Abaqus單元的數(shù)學(xué)描述和積分——非協(xié)調(diào)單元

2013-08-14 by:Abaqus軟件應(yīng)用培訓(xùn)中心來(lái)源:仿真在線

Abaqus單元的數(shù)學(xué)描述和積分——非協(xié)調(diào)單元

僅在ABAQUS/Standard中有非協(xié)調(diào)模式單元,它的目的是克服在完全積分、一階單元中的剪力自鎖問(wèn)題。由于剪力自鎖是單元的位移場(chǎng)不能模擬與彎曲相關(guān)的變形而引起的,所以在一階單元中引入了一個(gè)增強(qiáng)單元變形梯度的附加自由度。這種對(duì)變形梯度的增強(qiáng)可以允許一階單元在單元域上對(duì)于變形梯度有一個(gè)線性變化,如圖4-9(a)所示。標(biāo)準(zhǔn)的單元數(shù)學(xué)公式導(dǎo)致了在單元中變形梯度為一個(gè)常數(shù),如圖4-9(b)所示,這導(dǎo)致與剪力自鎖相關(guān)的非零剪切應(yīng)力。

圖4-9 變形梯度的變化在 (a) 非協(xié)調(diào)模式(增強(qiáng)變形梯度)單元和 (b) 采用標(biāo)準(zhǔn)公式的一階單元

這些對(duì)變形梯度的增強(qiáng)完全是在一個(gè)單元的內(nèi)部,與位于單元邊界上的節(jié)點(diǎn)無(wú)關(guān)。與直接增強(qiáng)位移場(chǎng)的非協(xié)調(diào)模式公式不同,在ABAQUS/Standard中采用的數(shù)學(xué)公式不會(huì)導(dǎo)致沿著兩個(gè)單元交界處的材料重疊或者開(kāi)洞,如圖4-10所示。因此,在ABAQUS/Standard中應(yīng)用的數(shù)學(xué)公式很容易擴(kuò)展到非線性、有限應(yīng)變的模擬,而這對(duì)于應(yīng)用增強(qiáng)位移場(chǎng)單元是不容易處理的。

圖4-10 在應(yīng)用增強(qiáng)位移場(chǎng)而不是增強(qiáng)變形梯度的非協(xié)調(diào)單元之間可能的運(yùn)動(dòng)非協(xié)調(diào)性。ABAQUS/Standard中的非協(xié)調(diào)模式單元采用了增強(qiáng)變形梯度公式

在彎曲問(wèn)題中,非協(xié)調(diào)模式單元可能產(chǎn)生與二次單元相當(dāng)?shù)慕Y(jié)果,但是計(jì)算成本卻明顯地降低。然而,它們對(duì)單元的扭曲很敏感。圖4-11用故意扭曲的非協(xié)調(diào)模式單元來(lái)模擬懸臂梁:一種情況采用“平行”扭曲,另一種采用“交錯(cuò)”扭曲。

圖4-11 非協(xié)調(diào)模式單元的扭曲網(wǎng)格

對(duì)于懸臂梁模型,圖4-12繪出了自由端位移相對(duì)于單元扭歪水平的曲線,比較了三種在ABAQUS/Standard中的平面應(yīng)力單元:完全積分的線性單元;減縮積分的二次單元;以及線性非協(xié)調(diào)模式單元。不出所料,在各種情況下完全積分的線性單元得到很差的結(jié)果。另一方面,減縮積分的二次單元獲得了很好的結(jié)果,直到單元扭曲得很嚴(yán)重時(shí)其結(jié)果才會(huì)惡化。

圖4-12 平行和交錯(cuò)扭曲對(duì)非協(xié)調(diào)模式單元的影響

當(dāng)非協(xié)調(diào)模式單元是矩形時(shí),即使在懸臂梁厚度方向上網(wǎng)格只有一個(gè)單元,給出的結(jié)果與理論值十分接近。但是,即便是很低水平的交錯(cuò)扭曲也使得單元過(guò)于剛硬。平行扭曲也降低了單元的精度,但是降低的程度相對(duì)小一些。

如果應(yīng)用得當(dāng),非協(xié)調(diào)模式單元是有用的,它們可以以很低的成本獲得較高精度的結(jié)果。但是,必須小心以確保單元扭曲是非常小的,當(dāng)為復(fù)雜的幾何體剖分網(wǎng)格時(shí),這可能是難以保證的;因此,在模擬這種幾何體時(shí),必須再次考慮應(yīng)用減縮積分的二次單元,因?yàn)樗鼈冿@示出對(duì)網(wǎng)格扭曲的不敏感性。然而,對(duì)于網(wǎng)格嚴(yán)重扭曲的情況,簡(jiǎn)單地改變單元類型一般不會(huì)產(chǎn)生精確的結(jié)果。網(wǎng)格扭曲必須盡可能地最小化,以改進(jìn)結(jié)果的精度。

開(kāi)放分享：優(yōu)質(zhì)有限元技術(shù)文章,助你自學(xué)成才