搜索一階迎風格式vs二階迎風格式：兩者的精度差別有多大？
2017-08-15 by:CAE仿真在線 來源:互聯網
FLUENT提供了好幾種空間離散格式,最常用的有“一階迎風格式”(First Order Upwind)和“二階迎風格式”(Second Order Upwind)。很多資料上都介紹二階迎風格式的精度比一階迎風格式高,但是,二階迎風格式的計算精度究竟比一階迎風格式高多少呢?
我們來看一個算例。這是經典的二維方腔頂蓋驅動流動(圖1)。計算域是一個正方形,邊長是a;上邊界是移動壁面,以速度U向左運動;其余三個邊界是固定壁面。正方形的內部充滿流體,其密度為ρ,粘性系數為μ。流動雷諾數定義為Re=ρUa/μ。這里計算雷諾數Re=1000的情形,流態為層流。
圖1二維方腔頂蓋驅動流動
分別使用四種密度的網格進行計算:32×32、64×64、128×128以及256×256。(圖2)每種網格分別使用一階迎風格式和二階迎風格式計算。
(a) 32×32
(b) 64×64
(c) 128×128
(d) 256×256
圖2網格
為了避免收斂標準的設定對計算結果的影響,計算時將收斂準則(Convergence Criterion)設為“none”并一直算到殘差不再下降為止,這樣收斂精度就由機器精度決定。(圖3)我們采用雙精度求解器,其機器精度大約有16位有效數字,因此收斂精度極其高,可以認為收斂誤差對計算結果沒有影響,或者說計算結果的誤差都是由離散格式的誤差導致的。
圖3 ConvergenceCriterion
流動的基本物理圖畫如圖4的流線所示。由于頂蓋的驅動作用,方腔內形成了一個大旋渦。另外,在左下角和右下角各存在一個較小的二次漩渦。
圖4流線(復制自[2])
我們使用文獻[1]、[2]的高精度數值解作為參考基準。文獻[1]的結果是使用二階精度的渦量—流函數方法再加上Richardson外推方法獲得的,文獻[2]則使用了譜方法;兩者的計算結果吻合,其精度大約為7位有效數字。文獻[1]給出了散布在正方形內的115個點處的速度值。我們將FLUENT算出的這115個點的速度的水平分量和文獻[1]的結果相減,得到115個誤差值e1, e2, e3,…, e115,然后分別用兩種方法來衡量整體的誤差;第一種是使用2-范數:
第二種是使用∞-范數:
即從115個誤差值的絕對值里面找出的最大值。這兩種方法是衡量算法的精度的常用方法。
FLUENT的整體計算誤差的分析結果如表1所示。
表1 FLUENT的計算誤差
(a)一階迎風格式
(b)二階迎風格式
可以看出,對于二階迎風格式,當網格密度超過64×64之后,隨著網格的加密呈現出的規律是,網格尺寸每變為原來的1/2,則計算誤差變為原來的1/4。也就是說,其計算誤差是正比于網格尺寸的平方的。對于這樣的計算精度,我們稱之為“二階精度”?！岸A迎風格式”之所以稱為“二階”,就是因為它具有二階精度。
而對于一階迎風格式,網格尺寸每變為原來的1/2,計算誤差也變為原來的1/2。也就是說,計算誤差正比于網格尺寸的一次方。這樣的計算精度稱為“一階精度”。由此看來,一階迎風格式的精度比二階迎風格式差很多。從誤差的絕對大小也可以看出這一點:一階迎風格式在256×256網格上的計算誤差比二階迎風格式在128×128網格上的誤差還要大。
由于一階迎風格式的精度比二階迎風格式差很多,所以一階迎風格式只是在剛開始計算的時候為了改善穩定性(防止計算發散)才用到的,而不應該用在最終的計算結果上。
事實上,由于一階迎風格式的計算誤差太大,結果往往不可靠,所以不少期刊已經明確地要求作者在對流動進行數值計算時,至少使用具有二階精度的空間離散格式。例如,AIAA(美國航空航天協會)在其“Editorial Policy Statement on Numerical and Experimental Accuracy”中就對其出版的期刊有如下要求:
“Numerical methods for solving PDEs should be at least formally second-order accurate in space for spatially smooth solutions.”
(全文鏈接:https://www.aiaa.org/EditorialPolicyStatement/)
空間離散格式的精度可以用導函數的近似計算來理解。我們知道,描述流體運動的Navier-Stokes方程組里面含有很多空間導數,比如說方程組的對流項里面就含有速度對空間坐標的導數。在計算流體力學中,這些空間導數是用離散的網格點上的函數值來近似計算的。我們可以設想一個一元函數y=f(x),網格尺寸為h,如圖5所示,
圖5導函數的近似計算
如果我們采用x0和x0+h這兩點上的函數值來近似計算x0處的導函數
(1)
其誤差是多少呢?這可以通過泰勒級數展開分析出來。在x0處對f(x)做泰勒級數展開,可以得到
(2)
通過簡單的推導可以得到
(3)
一般情況下,f(x)的二階導數是不等于零的。所以,容易看出,使用式子(1)來近似計算導函數,其誤差是正比于網格尺寸h的一次方的。這就是所謂的具有“一階精度”的格式。如果我們需要更高的計算精度,可以使用更多的離散點,比如說計算x0處的導函數的時候,同時使用x0、x0+h以及x0+2h這三個點上的函數值,這樣計算誤差就正比于網格尺寸的平方,達到“二階精度”。
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參考文獻
[1] http://www.acenumerics.com/the-benchmarks.html
[2] O. Botella and R. Peyret. Benchmark spectral results on the lid-driven cavity flow. Computers and fluids, 27 (1998)
[3] Odus R. Burggraf. Analytical and numerical studies of the structure of steady separated flows. Journal of fluid mechanics, 24 (1966)
[4] Ann S. Almgren, John B.Bell, Phillip Colella, Louis H. Howell, and Michael L. Welcome. A Conservative Adaptive Projection Method for the Variable Density Incompressible Navier-Stokes Equations. Journal of computational physics, 142 (1998)
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